C语言之整数划分问题(递归法)实例代码

 更新时间:2020年4月25日 17:32  点击:2555

C语言之整数划分问题(递归法)实例代码

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

    n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

1.递归法:

   根据n和m的关系,考虑以下几种情况:

   (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};

   (2)当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,...,1};

   (3)当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:

      (a)划分中包含n的情况,只有一个即{n};

      (b)划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。

      因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

   (4)当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);

   (5)但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:

       (a)划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m,因此这情况下

          为f(n-m,m)

       (b)划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1);

      因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

      综上所述:

       f(n, m)=  1;       (n=1 or m=1)

        f(n,m)  =  f(n, n);          (n<m)

               1+ f(n, m-1);       (n=m)

               f(n-m,m)+f(n,m-1);     (n>m)


#include<iostream>
using namespace std;

int equationCount(int n,int m)
{
  if(n==1||m==1)
    return 1;
  else if(n<m)
    return equationCount(n,n);
  else if(n==m)
    return 1+equationCount(n,n-1);
  else
    return equationCount(n,m-1)+equationCount(n-m,m);
}

int main(void)
{
  int n;
  while(scanf("%d",&n)!=EOF&&(n>=1&&n<=120))
  {
    printf("%d\n",equationCount(n,n));
  }
  return 0;
}

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