Java数据结构之线段树中的懒操作详解

一、问题提出

对于线段树，若要求对区间中的所有点都进行更新，可以引入懒操作。

懒操作包括区间更新和区间查询操作。

二、区间更新

对 [l,r] 区间进行更新，例如将 [l,r] 区间所有元素都更新为 v，步骤如下。

1.若当前节点区间被查询区间[l,r]覆盖，则仅对该节点进行更新并做懒标记，表示该节点已被更新，对该节点的子节点暂不更新。

2.判断是在左子树中查询还是在右子树中查询。在查询过程中，若当前节点带有懒标记，则将懒标记传给子节点（将当前节点的懒标记清除，将子节点更新并做懒标记），继续查找。

3.在返回时更新最值。

三、区间查询

带有懒标记的区间查询和普通的区间查询有所不同，在查询过程中若遇到节点有懒标记，则下传懒标记，继续查询。

四、实战

1.问题描述

2.输入

10
5 3 7 2 12 1 6 4 8 15
3 7 25
1 10

3.代码

package com.platform.modules.alg.alglib.p85;
 
public class P85 {
    public String output = "";
 
    private final int maxn = 100005;
    private final int inf = 0x3f3f3f3f;
    private int n;
    private int a[] = new int[maxn];
    private node tree[] = new node[maxn * 4]; // 树结点存储数组
 
    public P85() {
        for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
            tree[i] = new node();
        }
    }
 
    void lazy(int k, int v) {
        tree[k].mx = v; // 更新最值
        tree[k].lz = v; // 做懒标记
    }
 
    // 向下传递懒标记
    void pushdown(int k) {
        lazy(2 * k, tree[k].lz); // 传递给左孩子
        lazy(2 * k + 1, tree[k].lz); // 传递给右孩子
        tree[k].lz = -1; // 清除自己的懒标记
    }
 
    // 创建线段树,k表示存储下标,区间[l,r]
    void build(int k, int l, int r) {
        tree[k].l = l;
        tree[k].r = r;
        tree[k].lz = -1; // 初始化懒操作
        if (l == r) {
            tree[k].mx = a[l];
            return;
        }
        int mid, lc, rc;
        mid = (l + r) / 2; // 划分点
        lc = k * 2; // 左孩子存储下标
        rc = k * 2 + 1; // 右孩子存储下标
        build(lc, l, mid);
        build(rc, mid + 1, r);
        tree[k].mx = Math.max(tree[lc].mx, tree[rc].mx); // 结点的最大值等于左右孩子最值的最大值
    }
 
    // 将区间 [l，r] 修改更新为 v
    void update(int k, int l, int r, int v) {
        // 找到该区间
        if (tree[k].l >= l && tree[k].r <= r) {
            lazy(k, v); // 更新并做懒标记
            return;
        }
        if (tree[k].lz != -1)
            pushdown(k); // 懒标记下移
        int mid, lc, rc;
        mid = (tree[k].l + tree[k].r) / 2; // 划分点
        lc = k * 2; // 左孩子存储下标
        rc = k * 2 + 1; // 右孩子存储下标
        if (l <= mid)
            update(lc, l, r, v); // 到左子树更新
        if (r > mid)
            update(rc, l, r, v);// 到右子树更新
        tree[k].mx = Math.max(tree[lc].mx, tree[rc].mx); // 返回时修改更新最值
    }
 
    // 求区间 [l，r] 的最值
    int query(int k, int l, int r) {
        int Max = -inf;
        if (tree[k].l >= l && tree[k].r <= r) // 找到该区间
            return tree[k].mx;
        if (tree[k].lz != -1)
            pushdown(k); // 懒标记下移
        int mid, lc, rc;
        mid = (tree[k].l + tree[k].r) / 2; // 划分点
        lc = k * 2; // 左孩子存储下标
        rc = k * 2 + 1; // 右孩子存储下标
        if (l <= mid)
            Max = Math.max(Max, query(lc, l, r)); // 到左子树查询
        if (r > mid)
            Max = Math.max(Max, query(rc, l, r)); // 到右子树查询
        return Max;
    }
 
    public String cal(String input) {
        int l, r;
        int i, v;
        String[] line = input.split("\n");
        n = Integer.parseInt(line[0]); // 第 1 行：10
        String[] nums = line[1].split(" ");
 
 
        // 第 2 行：5 3 7 2 12 1 6 4 8 15
        for (i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = Integer.parseInt(nums[i - 1]);
        build(1, 1, n); // 创建线段树
        // 输入查询最值的区间 [l，r] 1 10
        String[] range = line[2].split(" ");
        l = Integer.parseInt(range[0]);
        r = Integer.parseInt(range[1]);
        // 求区间[l..r]的最值
        output += query(1, l, r) + "\n";
        // 输入更新的区间值 l r v  第 3 行： 3 7 25
        String[] change = line[3].split(" ");
        l = Integer.parseInt(change[0]);
        r = Integer.parseInt(change[1]);
        v = Integer.parseInt(change[2]);
        // 将区间 [l，r] 修改更新为 v
        update(1, l, r, v);
        // 求区间[l..r]的最值 第 4 行：1 10
        range = line[4].split(" ");
        l = Integer.parseInt(range[0]);
        r = Integer.parseInt(range[1]);
        // 求区间 [l..r] 的最值
        output += query(1, l, r) + "\n";
        return output;
    }
}
 
// 结点
class node {
    int l; // l 表示区间左右端点
    int r; // r 表示区间左右端点
    int mx; // mx表示区间[l,r]的最值
    int lz; // lz 懒标记
}

4.测试

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