关于C++中二分法详解

一、整数二分

单调性与二分的关系：有单调性一定可以二分，用二分不一定是单调性。二分的本质不是单调性而是边界点（找符合条件的最小的数或者最大的数）整数二分是求红色范围的右端点 或者 绿色范围的左端点

1.整数二分模板

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

【模板1】

1、求红色边界点

注： + 1原因：

/ 是向下取整，当l与r只相差1的时候，即 l = r - 1，最终的结果mid = l（即结果不变还是l）,补上1之后 mid = r，再次循环之后l = r 即[r , r]，最终结束循环。如果不补1将会出现死循环。

【模板2】

求绿色边界点

2.求解二分问题的思路

每次先划分区间，写一个mid，后面再考虑是否补上加1操作然后想一个check()函数，康康是否满足性质，根据check()函数的值取判断怎么划分(mid在哪一边)，到底是是l = mid，还是r = mid，第一种补上1即可。（关键是找性质，判断是否满足性质然后判断mid在左边还是右边）

3.练习

(1).数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 nn 的整数数组，以及 qq 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 kk 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 nn 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 31 2 2 3 3 4345

输出样例：

3 45 5-1 -1

思路：

【参考代码】

#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 100000+10;
int q[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin>> n >> m;
    
    for(int i = 0; i < n; i++) cin>>q[i];
    while(m--)
    {
      int x;
      cin>> x;
      // 寻找起始位置
      int l = 0, r = n - 1;
      while(l < r)
      {
          int mid =(l + r)/2;
          if(q[mid] >= x) r = mid;
          else l = mid + 1;
      }
      if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<<endl;
      else{
          cout<<l<<" ";
          // 寻找终点位置
          int l = 0, r = n - 1;
          while(l<r)
          {
              int mid = (l + r + 1)/2;
              if(q[mid] <= x) l = mid;
              else r = mid - 1;
          }
          
          cout<< l << endl;
      }
       
    }
    return 0;
}

(2).0到n-1中缺失的数字

(二分) O(logn)
这道题目给定的是递增数组，假设数组中第一个缺失的数是 x，那么数组中的数如下所示；

从中可以看出，数组左边蓝色部分都满足nums[i] == i，数组右边橙色部分都不满足nums[i] == i，因此我们可以二分出分界点 x 的值。

另外要注意特殊情况：当所有数都满足nums[i] == i时，表示缺失的是 n。

时间复杂度分析
二分中的迭代只会执行 O(logn) 次，因此时间复杂度是O(logn)。

class Solution {
public:
    int getMissingNumber(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 0) return 0;
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r)/2;
            if(nums[mid] != mid) r = mid; //在红色半边(满足条件)
            else l = mid + 1;
        }
        
        //缺的是n这个数
        if(nums[r] == r) r++;
        
        return r;
        
    }
};

二、浮点数二分

1.浮点数二分模板

浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质（包含了计算和条件）

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求(一般比题目要求的大2)
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

注：与整数二分的最大区别是，else那里的条件l = mid不进行+1或者-1，浮点数没有整除（/ 下取整）这种问题，不需要处理边界。

2.练习

(1).数的三次方跟

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。

注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{   
    double n;
    cin>>n;
    
    double l = -10000, r = 10000;
     // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求(保险1e-8)
    const double eps = 1e-8;  
    while(r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= n) r = mid;
        else l = mid;
    }
    
     printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
    
}

(2).一元三次方程求解

提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且f(x1)*f(x2)<0，则在(x1,x2)之间一定有一个根。

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

double a, b, c, d;// 全局变量方便在cal中使用
const double eps = 1e-6;// 定义精度

//计算一元三次方程
double cal(double x)
{
    return a*x*x*x + b*x*x + c*x + d;
}
int main()
{
    cin>>a>>b>>c>>d;
    
    //枚举根
    for(int i = -100; i <= 100; i++)
    {
        //根与根之差的绝对值 ≥1
        double l = double(i), r = double(i + 1);// 细节:要将l,r转为double
        if(cal(l) == 0) printf("%.2lf ", l); //若f(x) = 0，根即为x 
        
        //f(x1)×f(x2) < 0 根在（x1,x2）之间—— 浮点二分
        else if(cal(l) * cal(r) < 0)
        {
            while(r - l > eps)
            {
                //x1 < x，f(x1)×f(x2)<0，则在(x1, x2)之间一定有一个根
                double mid = (l + r)/2;
                // check()条件
                if(cal(l) * cal(mid) <= 0) r = mid;
                else l = mid;
            }
            
            printf("%.2lf ", l);
        }
    }
}

【参考代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double check(double x)
{
    return 7*x*x*x*x + 5*x*x*x + 11*x + 6;
} 
double erfen(double Y)
{
    double l=0.0, r=99.0, mid;
    while(r - l > 1e-6){
        mid = (l + r)/2;
        if(check(mid) > Y) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return mid;
}
int main()
{
    double Y;
    while(~scanf("%lf", &Y)){
        if(Y < 6 || Y > 677269824)
            puts("None");
        else
        printf("%.4f\n", erfen(Y));
    }
    return 0;
}

三、总结

以上就是对基础二分知识和模板的再次回顾和总结，二分再掌握了基本原理之后，关键还是多练多总结，找到那种敏锐的体感，QAQ…，希望对你有所帮助呀！

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